ナルシスト数を知っていますか|おそるべし。人間の手で全て探せるのか?




ナルシスト数を知っていますか。

ナルシスト数

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ナルシスト数とは、n桁の自然数で、各桁のn乗の和が元の数に等しくなるような数のことだそうです。

例えば、1^3 + 5^3 +3^3 = 1+125+27=153 となりますので、153はナルシスト数です。

1^4 +6^4 + 3^4 +4^4 = 1+1296+81+256=1634 となりますので、1634もまたナルシスト数です。

1桁の数は全てナルシスト数

ですから、1桁の自然数はすべてナルシスト数だということになりますね。

2桁の数でナルシスト数は?

Excel先生に計算させましたが、残念ながらありませんでした。

ナルシスト数はいくつあるのか

では、ナルシスト数はいくつあるのでしょう。

無数にあるのではありません。有限個です。

9^n \times n \le 10^{n-1}  を満たすnを求めると、9n \le \left( \dfrac{10}9 \right)^{n-1}

これもExcel先生に相談すると、nは60より大きい数であるという解が出ます。

つまり、60桁よりも大きい数では、全ての桁が最も大きい9であったとしても、そのn乗の和がn桁の数にならないということなんです。したがって、60桁より大きいナルシスト数は存在しません。

Wikipedia先生に相談したら、ナルシスト数は全部で87個存在するんだそうです。

最大のものは39桁の数で、「115132219018763992565095597973971522401」だとかで。

これを見つけたのは、おそらく人間様ではないでしょう。

ナルシスト数、おそるべし。