１＋２＋３＋４＋・・・がマイナスや分数に！認めて発展してきた数学の歴史　その5

2016年2月19日

数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第5話。これまでの話はこちら。

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/16/zeta/

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/17/zeta-2/

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/18/zeta-3/

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/19/zeta-4/

3話と4話がつながります

第3話をおさらいしましょう。

$1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots = \dfrac1{1-x}$

これです。これが第3話の全てです。この式さえあれば、第3話の話なんかどうでもいいんです。

第4話では、微分の話をしました。微分はできるようになってますよね。

なに！？できないだと！微分ができないなんて、恥ずかしいと思わないのか！恥を知れ！

生徒

先生だって、高校生のとき・・・

やかましい！よそはよそ！うちはうち！小さいころにお母さんに習わなかったのか！？とにかく、微分ができるようになってから出直して来い！

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ということで、第3話の式を微分してみましょう。

$1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots$

これを微分すると

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots$

ですね。一方、第4話で話をしたように、 $\dfrac1{1-x}$ を微分すると $\dfrac1{(1-x)^2}$ です。つまり

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}$

という式が成り立つんです。

第3話には条件があった

覚えていますか？第3話の式が出てきたときに、条件があったことを。

$1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots = \dfrac1{1-x}$

この式は、 ${-1} < x < 1$ のときにしか成り立たないんです。ということは、今回微分した

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}$

この式も、 ${-1}<x<1$ のときにしか成り立ちません。

言うことをきかない奴がいる

数学の歴史は「認める」の歴史でした。いつの世にも、言うことをきかない奴がいるんです。

$1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}$

この式に−１を代入したらどうなるんだろう？

もうね。やっちゃいけないって言うことを平気でやる奴がいるんです。

眉を剃るなって言ってるのに。紙を染めるなって言ってるのに。スカートを曲げるなって言ってるのに。

生徒

なんでやっちゃいけないんですか？

ダメなものはダメ！

・・・でも、こいつはそれでも眉を剃るし、スカートを曲げるんだ。数学も同じ。入れちゃダメだって言ってるのに、 $x=-1$ を代入しちゃうんだよ。

$1-2+3-4+5-6+\cdots=\dfrac14$

ほら〜ぁ。だから言わんこっちゃない。やっちゃいけないってのにやっちゃうから、おかしな式が出てきちゃったでしょ。

だって、左辺は整数しか無いんですよ。１と２と３と４と・・・。それの足し算、引き算しかしてないのに、なんで右辺が分数になっちゃうんだよ。おかしいじゃん。

でもね。これって数学的に「認め」られちゃってるんです。もちろん整数のお話としてはアウト。でも、無限に続くお話としては、OKなんです。

こいつのせいで、いよいよとんでもない結論が出てきちゃいます。次回、完結！

つづきます。

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/20/zeta-6/

数学奇人たちの生態

Posted by Hirota