1+2+3+4+・・・がマイナスや分数に!認めて発展してきた数学の歴史 その5




数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第5話。これまでの話はこちら。

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http://hiro365.tarohiro.com/2016/02/19/zeta-4/

3話と4話がつながります

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第3話をおさらいしましょう。

1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots = \dfrac1{1-x}

これです。これが第3話の全てです。この式さえあれば、第3話の話なんかどうでもいいんです。

第4話では、微分の話をしました。微分はできるようになってますよね。

なに!?できないだと!微分ができないなんて、恥ずかしいと思わないのか!恥を知れ!

生徒
先生だって、高校生のとき・・・

やかましい!よそはよそ!うちはうち!小さいころにお母さんに習わなかったのか!?とにかく、微分ができるようになってから出直して来い!

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ということで、第3話の式を微分してみましょう。

1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots

これを微分すると

1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots

ですね。一方、第4話で話をしたように、\dfrac1{1-x} を微分すると \dfrac1{(1-x)^2} です。つまり

1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}

という式が成り立つんです。

第3話には条件があった

覚えていますか?第3話の式が出てきたときに、条件があったことを。

1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots +x^n + \cdots = \dfrac1{1-x}

この式は、{-1} < x < 1 のときにしか成り立たないんです。ということは、今回微分した

1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}

この式も、{-1}<x<1 のときにしか成り立ちません。

言うことをきかない奴がいる

数学の歴史は「認める」の歴史でした。いつの世にも、言うことをきかない奴がいるんです。

1+2x+3x^2+4x^3+\cdots+nx^{n-1}+\cdots=\dfrac1{(1-x)^2}
この式に−1を代入したらどうなるんだろう?

もうね。やっちゃいけないって言うことを平気でやる奴がいるんです。

眉を剃るなって言ってるのに。紙を染めるなって言ってるのに。スカートを曲げるなって言ってるのに。

生徒
なんでやっちゃいけないんですか?

ダメなものはダメ!

・・・でも、こいつはそれでも眉を剃るし、スカートを曲げるんだ。数学も同じ。入れちゃダメだって言ってるのに、x=-1を代入しちゃうんだよ。

1-2+3-4+5-6+\cdots=\dfrac14

ほら〜ぁ。だから言わんこっちゃない。やっちゃいけないってのにやっちゃうから、おかしな式が出てきちゃったでしょ。

だって、左辺は整数しか無いんですよ。1と2と3と4と・・・。それの足し算、引き算しかしてないのに、なんで右辺が分数になっちゃうんだよ。おかしいじゃん。

でもね。これって数学的に「認め」られちゃってるんです。もちろん整数のお話としてはアウト。でも、無限に続くお話としては、OKなんです。

こいつのせいで、いよいよとんでもない結論が出てきちゃいます。次回、完結!

つづきます。

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