素数砂漠
こんにちは。数学奇人のヒロタです。
今日は「素数砂漠」のお話です。
素数砂漠とは
「素数」はお分かりですよね。1と自分自身以外に正の約数を持たない自然数です。
ちなみに、1は素数ではありません。そういうきまりです。
100以下の素数を書き並べると
です。この並びの中で、3と5の間に素数でない数が1つありますね。4です。
7と11の間には8,9,10の3つの素数でない数があります。
89と97の間には、90,91,92,93,94,95,96と7個の素数でない数が続きます。
このように、素数と素数の間に連続して素数でない数が並ぶ状態を「素数砂漠」と言います。
不規則
素数の出現って、規則性がないんですよ。不規則なんです。
2以外の素数って、全部奇数なんですけど、3,5,7と3つ続いたら、一つ飛んで11,13と2つ続き、15を飛ばして17,19。21が飛んで23。25,27が2つ飛んで29,31と続く。
ホントに規則性がありません。
10万までの中で
10万までの中で、最も長い素数砂漠って何なのか、調べてみました。
31397は素数です。ここから、長い素数砂漠が始まります。
偶数は素数でないので省きます。
31399は17で割り切れます。
31401は3の倍数です。
31403は31の倍数。
31405は見ただけで分かる5の倍数。
31407は3の倍数。
31409は7で割り切れる。
31411は101の倍数です。
31413は3の倍数。31415は5で割り切れます。
31417は89で割り切れます。
31419は3の倍数。31421は13で割り切れます。
31423は7の倍数です。31425は5の倍数。
31427は11の倍数。31429は53で割り切れます。
31431は3の倍数。31433は17の倍数です。
31435は5の倍数。31437は3の倍数。
31439は149で割り切れます。31441は23で割り切れます。
31443は3の倍数。31445は5の倍数。
31447は13の倍数。31449は3の倍数。
31451は7の倍数。31453は71で割り切れます。
31455は5の倍数。31457は83で割り切れます。
31459は163で割り切れます。
31461は3の倍数。31463は73で割り切れます。
31465は5の倍数。31467は3の倍数。
そして、31469は素数です。
なんと71個の素数砂漠
31397と31469という2つの素数の間に、なんと71個の素数砂漠がありました。
素数でない数が71個続くってすごくないですか？
明けない夜はあるのか
素数砂漠、最長でどのくらい長く続くんでしょうか。
無限に長い素数砂漠って作れるんでしょうか。
明けない夜ってあるんでしょうか。
どんなに長い素数砂漠も作れる
実は、どんなに長い素数砂漠も作ることができます。
例えば、10の階乗を考えます。
です。もちろん素数ではありません。
10!+1は素数ではありませんでした。11で割り切れます。
10!+2はもちろん偶数だから素数ではありません。
10!+3は、10!の因数に3があるので、全体を3でくくることができます。
つまり3で割り切れます。
10!+5も5でくくれますよね。10!+7も7でくくれます。
つまり10!+2から10!+10までは確実に素数でないことが確認できます。
同じように考えると、100!+2から100!+100までは確実に素数砂漠です。
1億!+2から1億!+1億までは、ほぼ1億個の合成数が並ぶ素数砂漠です。
このように、いくらでも長い素数砂漠を作ることができるんです。
蛇足ですが、調べてみたところ10!-1から10!-10までは全て素数ではありませんでした。
10!+11は素数でした。
ちなみに
100!+101は合成数でした。
100!+103が素数かどうかをわたしのPCで調べさせたところ、2時間ぶっ通しで計算しても答えが出ませんでした。
とてつもなく大きな数字を取り扱っていると思うと、なんだかワクワクしました。
これが数学奇人の生態ですが、何か?