1+2+3+4+・・・がマイナスや分数に!認めて発展してきた数学の歴史 その2




数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第2話。第1話はこちら。

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極限のお話

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第1話と比べると、少し小難しいお話になります。頑張ってついてきてくださいね。

「極限」のお話をします。

みなさん「∞」の記号を見たことがあるかと思います。数字の8を横に倒したような記号。

ジャニーズにいますよね。なんジャニか知りませんけど。

「エイト」って読んでますよね。

あのね。「8」じゃありませんから。∞は「無限大」って読むんです。無限に大きいんです。とんでもなく大きいんです。

8より大きいのかって?あのね。8って、9より小さいでしょ。∞は9より大きいんですよね。はい、∞の勝ち!

∞はどのくらい大きいのか

無限大がどのくらい大きいのかって?何よりも大きいんです。

うちのダンナ、ほんっっっっっっとにバカなのよ!
嫁の友達
どのくらいバカなの?
あのね。あなたが思いつく、いっっっっっっっっちばんバカな奴の顔を思い浮かべてみて。思い浮かべた?
嫁の友達
うん、思い浮かべた。
うちのダンナね、そいつよりももっとバカなの。

これが無限大です。数学奇人のみなさんならお分かりですよね。イプシロン-デルタです。

とにかく、わたしはどこの誰よりもバカなんです。って、なんだと、このやろう!

ま、まあ、とにかく、無限大ってのは他の何よりも大きいんです。でも、数字じゃないんです。「大きい」っていう概念。

何回も何回も掛け算してみよう

\dfrac12 ってあるじゃないですか。分数です。二分の一です。0.5です。

これを2回掛け算すると、\dfrac12 \times \dfrac12=\dfrac14=0.25 で、小さくなりますよね。

3回掛け算すると、 \dfrac12\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac18=0.125 で、もっと小さくなります。

10回掛け算したら、もっと小さくなるんですけど、\dfrac12 \times \dfrac12 \times \cdots って打つの、結構辛いんですよね。

そこで、同じ数字を10回掛け算するのを \left( \dfrac12\right)^{10} って右肩に小さい数字で書くんです。これで「2分の1の10乗」って読みます。

これを計算すると、\dfrac1{1024} 。1つのケーキを1024人で分けた1人分。わたしのハナクソの方が大きいかも。

\left( \dfrac12 \right)^{100},~ \left( \dfrac12 \right)^{1000},~ \left( \dfrac12 \right)^{10000},~\cdots どんどん小さくなりますよね。ほとんど0になっちゃいます。

じゃ \left( \dfrac12 \right)^n で、n が無限大になるくらいどんどん大きくなっていったら?ほとんど0ですよね。

これを数学語で

\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac12 \right)^n=0

って書くんです。

まあ、平たく言うと、-1 < r <1 のとき、$r^n$ は0に近づいていく(n \to \infty のとき)ということです。

 

表現は「近づく」なんですが、数学ではこれを0として計算します。

つづきます。

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