1+2+3+4+・・・がマイナスや分数に!認めて発展してきた数学の歴史 その3




数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第3話。これまでの話はこちら。

http://hiro365.tarohiro.com/2016/02/16/zeta/

http://hiro365.tarohiro.com/2016/02/17/zeta-2/

等比数列のお話

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今日の話は、数列のお話です。

数列っていうのは、文字通り数字が並んでいるってことです。

数字が並んでれば数列です。

数字が並んでいればそれでいいので、例えば

3,~1,~4,~1,~5,~9,~2,~6,~5,~3

ってのも数列です。規則性がなくてもいいんです。まあ、この次は5ですけど。

その次に8でない数を書いて、数学奇人のみなさんの意表をついても何ら問題ないんですけど。

でも、数学で取り扱う以上、規則性がなければそれから先の議論が続かないので、数学では規則性のある数列を取り扱います。通常。

等比数列

数列の中で、今ある数に一定の数を掛け算して次の数を作るような数列を「等比数列」っていいます。

1,~2,~4,~8,~16,~32,~64,~128,~\cdots

は、次々に2をかけてできる数列です。等比数列です。

27,~9,~3,~1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac19,~\dfrac{1}{27},~\dfrac{1}{81},~\dfrac{1}{243},~\cdots

は、次々に \dfrac13 をかけてできる数列です。等比数列です。

2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~\cdots

は、次々に -2 をかけてできる数列です。これも等比数列です。

次々にかける同じ数を、等比数列の「公比」といいます。

公比が x である等比数列

1,~x,~x^2,~x^3,~x^4,~x^5,~\cdots

を考えましょう。これを全部足したものを S っておくと

S=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}

です。この両辺に x をかけると

xS=x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}+x^n

です。

これ、辺々引くと

(1-x)S=1-x^n

になります。

数学奇人のみなさんは楽勝ですが、そうでない方、難しいっすか?一旦深呼吸しましょうか。

先日の記事で、Facebookページのコメントに

読者
いいところで「つづきます」って、アニメやドラマみたいだ!

ってコメントをいただきました。アニメやドラマにはCMがありますよね。CMの間にトイレとか行きますよね。

一旦トイレでも行きましょうか。チャンネルはそのままでね。

(1-x)S=1-x^n

まで来ました。この両辺を 1-x で割ると

S=\dfrac{1-x^n}{1-x}

になります。等比数列の和の公式ってやつです。

割り算するときは、割る数が0というのが許されませんので、x \not= 1 です。

つまり

1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1}=\dfrac{1-x^n}{1-x}

となります。ここまでついてこれてない方、最後の式だけ「認めて」もらえば、それでOKです。

無限等比級数

等比数列を無限に足し続けたものを、無限等比級数っていいます。

上の式を n-1 乗で終わらせるんじゃなく、無限大まで足し続けるんです。つまり、nを無限大までぶっ飛ばしちゃうんです。

前回の記事で、-1<x<1 のとき、x^n の極限は0になるっていう話をしました。

http://hiro365.tarohiro.com/2016/02/17/zeta-2/

ですので、-1<x<1 のときは

1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots+ = \dfrac1{1-x}

という式が成り立ちます。これが無限等比級数です。

この無限等比級数にいろんな事を考えた数学奇人がいるんです。その思考に、わたしたちの常識がひっくり返るんです。

つづきます。

http://hiro365.tarohiro.com/2016/02/19/zeta-4/