１＋２＋３＋４＋・・・がマイナスや分数に！認めて発展してきた数学の歴史　その2

2016年2月17日

数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第2話。第1話はこちら。

極限のお話

第1話と比べると、少し小難しいお話になります。頑張ってついてきてくださいね。

「極限」のお話をします。

みなさん「∞」の記号を見たことがあるかと思います。数字の８を横に倒したような記号。

ジャニーズにいますよね。なんジャニか知りませんけど。

「エイト」って読んでますよね。

あのね。「８」じゃありませんから。∞は「無限大」って読むんです。無限に大きいんです。とんでもなく大きいんです。

8より大きいのかって？あのね。8って、9より小さいでしょ。∞は9より大きいんですよね。はい、∞の勝ち！

無限大がどのくらい大きいのかって？何よりも大きいんです。

嫁

うちのダンナ、ほんっっっっっっとにバカなのよ！

嫁の友達

どのくらいバカなの？

嫁

あのね。あなたが思いつく、いっっっっっっっっちばんバカな奴の顔を思い浮かべてみて。思い浮かべた？

嫁の友達

うん、思い浮かべた。

嫁

うちのダンナね、そいつよりももっとバカなの。

これが無限大です。数学奇人のみなさんならお分かりですよね。イプシロン-デルタです。

とにかく、わたしはどこの誰よりもバカなんです。って、なんだと、このやろう！

ま、まあ、とにかく、無限大ってのは他の何よりも大きいんです。でも、数字じゃないんです。「大きい」っていう概念。

$\dfrac12$ ってあるじゃないですか。分数です。二分の一です。0.5です。

これを2回掛け算すると、 $\dfrac12 \times \dfrac12=\dfrac14=0.25$ で、小さくなりますよね。

3回掛け算すると、 $\dfrac12\times\dfrac12\times\dfrac12=\dfrac18=0.125$ で、もっと小さくなります。

10回掛け算したら、もっと小さくなるんですけど、 $\dfrac12 \times \dfrac12 \times \cdots$ って打つの、結構辛いんですよね。

そこで、同じ数字を10回掛け算するのを $\left( \dfrac12\right)^{10}$ って右肩に小さい数字で書くんです。これで「2分の1の10乗」って読みます。

これを計算すると、 $\dfrac1{1024}$ 。1つのケーキを1024人で分けた1人分。わたしのハナクソの方が大きいかも。

$\left( \dfrac12 \right)^{100},~ \left( \dfrac12 \right)^{1000},~ \left( \dfrac12 \right)^{10000},~\cdots$ どんどん小さくなりますよね。ほとんど0になっちゃいます。

じゃ $\left( \dfrac12 \right)^n$ で、 $n$ が無限大になるくらいどんどん大きくなっていったら？ほとんど0ですよね。

これを数学語で

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( \dfrac12 \right)^n=0$

って書くんです。

まあ、平たく言うと、 $-1 < r <1$ のとき、$r^n$ は0に近づいていく( $n \to \infty$ のとき)ということです。

表現は「近づく」なんですが、数学ではこれを0として計算します。

つづきます。

Posted by Hirota