１＋２＋３＋４＋・・・がマイナスや分数に！認めて発展してきた数学の歴史　その3

2016年2月18日

数学の歴史は「認める」の歴史です。

この話は第3話。これまでの話はこちら。

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/16/zeta/

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/17/zeta-2/

等比数列のお話

今日の話は、数列のお話です。

数列っていうのは、文字通り数字が並んでいるってことです。

数字が並んでれば数列です。

数字が並んでいればそれでいいので、例えば

$3,~1,~4,~1,~5,~9,~2,~6,~5,~3$

ってのも数列です。規則性がなくてもいいんです。まあ、この次は5ですけど。

その次に8でない数を書いて、数学奇人のみなさんの意表をついても何ら問題ないんですけど。

でも、数学で取り扱う以上、規則性がなければそれから先の議論が続かないので、数学では規則性のある数列を取り扱います。通常。

等比数列

数列の中で、今ある数に一定の数を掛け算して次の数を作るような数列を「等比数列」っていいます。

$1,~2,~4,~8,~16,~32,~64,~128,~\cdots$

は、次々に2をかけてできる数列です。等比数列です。

$27,~9,~3,~1,~\dfrac{1}{3},~\dfrac19,~\dfrac{1}{27},~\dfrac{1}{81},~\dfrac{1}{243},~\cdots$

は、次々に $\dfrac13$ をかけてできる数列です。等比数列です。

$2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~2,~-2,~\cdots$

は、次々に $-2$ をかけてできる数列です。これも等比数列です。

次々にかける同じ数を、等比数列の「公比」といいます。

公比が $x$ である等比数列

$1,~x,~x^2,~x^3,~x^4,~x^5,~\cdots$

を考えましょう。これを全部足したものを $S$ っておくと

$S=1+x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}$

です。この両辺に $x$ をかけると

$xS=x+x^2+x^3+x^4+\cdots+x^{n-1}+x^n$

です。

これ、辺々引くと

$(1-x)S=1-x^n$

になります。

数学奇人のみなさんは楽勝ですが、そうでない方、難しいっすか？一旦深呼吸しましょうか。

先日の記事で、Facebookページのコメントに

読者

いいところで「つづきます」って、アニメやドラマみたいだ！

ってコメントをいただきました。アニメやドラマにはCMがありますよね。CMの間にトイレとか行きますよね。

一旦トイレでも行きましょうか。チャンネルはそのままでね。

$(1-x)S=1-x^n$

まで来ました。この両辺を $1-x$ で割ると

$S=\dfrac{1-x^n}{1-x}$

になります。等比数列の和の公式ってやつです。

割り算するときは、割る数が0というのが許されませんので、 $x \not= 1$ です。

つまり

$1+x+x^2+x^3+\cdots+x^{n-1}=\dfrac{1-x^n}{1-x}$

となります。ここまでついてこれてない方、最後の式だけ「認めて」もらえば、それでOKです。

無限等比級数

等比数列を無限に足し続けたものを、無限等比級数っていいます。

上の式を $n-1$ 乗で終わらせるんじゃなく、無限大まで足し続けるんです。つまり、nを無限大までぶっ飛ばしちゃうんです。

前回の記事で、 $-1<x<1$ のとき、 $x^n$ の極限は0になるっていう話をしました。

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/17/zeta-2/

ですので、 $-1<x<1$ のときは

$1+x+x^2+x^3+\cdots+x^n+\cdots+ = \dfrac1{1-x}$

という式が成り立ちます。これが無限等比級数です。

この無限等比級数にいろんな事を考えた数学奇人がいるんです。その思考に、わたしたちの常識がひっくり返るんです。

つづきます。

https://hiro365.tarohiro.com/2016/02/19/zeta-4/

数学奇人たちの生態

Posted by Hirota