連続する10の自然数の和はあっという間に求められるんです

2015年11月30日

先日テレビで「連続する10の自然数の和」について話があって、反応しちゃいました。

連続する10の自然数の和

連続する10個の自然数の和とは、例えば

$1+2+3+4+5+6+7+8+9+10$

とか

$67+68+69+70+71+72+73+74+75+76$

のようなものです。上の和は55ですし、下の和は715です。

こんな計算が、あっという間にできるというのがテレビでやってたんです。

普通に考えたら、これは等差数列の和です。初項を $a$ 、末項を $l$ 、項数を $n$ とすると、その和 $S$ は

$S=\dfrac12n(a+l)$

で求めることができます。上の例では

$\dfrac12 \times 10 \times (1+10) =5\times11=55$

ですし、下の例では

$\dfrac12 \times 10 \times (67+76) =5 \times143=715$

です。

でも、テレビの中では小学生のチビッコが暗算であっという間に答えを出していました。上の例ならともかく、下の例の計算を小学生が一瞬でできるとは思いません。わたしには無理です。

実は、連続する10個の自然数の和は、小さい方から5番目の数のあとに「5」を書くだけで答えになる、というものでした。

上の例なら、5番目の数は5ですので、「55」です。下の例では、5番目は71ですから、「715」です。

「へえ、すごい」で終わるのが普通の人。数学奇人は「え、なんで？」となります。証明してみました。

5番目の自然数を $n$ とおくと、連続する10個の自然数は

$n-4,~n-3,~n-2,~n-1,~n,~n+1,~n+2,~n+3,~n+4,~n+5$

です。よってその和は

$n-4+n-3+n-2+n-1+n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5=10n +5$

つまり、5番目の数を10倍して5を足したものが和になります。証明終わり。

バッチリ証明できてるんですが、なんか腑に落ちません。

だって、結果ありきの証明です。どうして5番目の数を $n$ っておけるんですか？

最初にやった人はこの結果を知らないわけですし、当然最初の数を $n$ とおくはずですよね。

最初の数を $n$ とおくと、連続する10個の自然数は

$n,~n+1,~n+2,~n+3,~n+4,~n+5,~n+6,~n+7,~n+8,~n+9$

です。よってその和は

$n+n+1+n+2+n+3+n+4+n+5+n+6+n+7+n+8+n+9=10n+45$

となります。

でも、この式を見たら、最初の数を10倍して45を足したもの、と結論づけるのが普通の人だと思うんです。

でも、 $10n+45=10n+40+5=10(n+4)+5$ と見ることで、5番目の数の後ろに5を書く、という結論になるんですよね。

こんな見方ができるのって、やはり数学奇人だと思うんです。

Posted by Hirota