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(-1)×(-1) は何故+1になるのか|数学奇人たちの生態




「あたりまえ」であることに疑問を抱くのは難しいことです。そしてそれを説明するのはもっと難しいことです。

「マイナス」かける「マイナス」は「プラス」?

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マイナスの数を学習するのは中学校ですね。みなさん中学校のときに「マイナスとマイナスをかけ算したらプラスになる」と習ったのではないかと思います。

それが「当たり前」と思っている人がほとんどではないかと思います。いえ、「当たり前」ですよね。

でも、これって当たり前じゃないです。

まずは約束が大事

物事を論じるときには、まずは約束が大事です。そもそも-1って何なのか。1って何?0とは何か説明できますか?

0とは

0とは、足し算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

 a+0=a,~ 0+a=a

が0の約束なんです。

1とは

1とは、かけ算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

 a \times1=a,~ 1 \times a=a

が1の約束なんです。

マイナスとは

-a とは、a と足し算をしたら0になるもの、というのが約束です。

 a+(-a)=0,~ (-a)+a=0

がマイナスの約束です。これを簡略化して

 a-a=0,~ -a+a=0

という「引き算」になるんです。

分配法則

いわゆる「展開」「因数分解」ですね。

 a(b+c)=ab+ac,~(a+b)c=ac+bc

は「使ってもよい約束」なんです。

1×0=0は約束ではない

上の4つだけが約束です。(厳密には、足し算とかけ算の約束をしなければならないんですが、今回は省略します。)

つまり、みんなが当たり前だと思っている「0は何をかけても0」は約束に入っていません。約束ではないんです。

でも、0=0+0 はちゃんと約束から出てきますよね。

つまり、1 \times0 = 1 \times(0+0) ってことです。

したがって 1 \times0 =1 \times0 + 1 \times0 です。

でも、まだ 1 \times0 は0かどうか分からないんですよね。

ややこしいので、1 \times0x とおきましょう。中学校で「分からないものはxとおけ!」って習いましたよね。わたしも習いました。

すると x=x+x です。

両辺から x を引きましょう。約束から x-x=0 です。

よって x-x=x+x-x  なので 0=x となります。

つまり 1 \times0=0 です。

(-1)×(-1) は何故+1なのか

それでは本題です。

(-1) \times(-1)(-1) を足すことを考えてみましょう。

-1=(-1) \times1 ですから

(-1) \times(-1)+(-1)=(-1) \times(-1)+(-1) \times1

です。分配法則は使ってもいいので、共通因数の-1 でくくりましょう。

(-1) \times(-1)+(-1) \times1=(-1) \{ (-1)+1 \}

です。中カッコのなかは-1+1 なので0ですから

(-1)\{ (-1)+1\}=(-1) \times0

です。先ほど、a \times0=0 は証明しましたから、

 -1 \times0=0

です。つまり、最初の式から全部つながって

 (-1) \times(-1) -1=0

です。この両辺に1を足すと

(-1) \times(-1)=1

が出てきます。

よくわからん

ここまで読んでくださった方は、内容に興味を持ち、数式を一行ずつ理解しながらお読みいただけたのだと思います。

しかし、世の中の9割以上の方は

マイナスかけるマイナスがプラスになるのは当たり前だろう!
こんな面倒でよく分からん話、ついて行けない!

だと思うんです。それでいいと思います。

ただ、「こんな面倒でよく分からん話」が楽しくて仕方のない人種もいるんです。それが「数学奇人」なんです。