（－１）×（－１）は何故＋１になるのか｜数学奇人たちの生態

2015年10月13日

「あたりまえ」であることに疑問を抱くのは難しいことです。そしてそれを説明するのはもっと難しいことです。

「マイナス」かける「マイナス」は「プラス」？

マイナスの数を学習するのは中学校ですね。みなさん中学校のときに「マイナスとマイナスをかけ算したらプラスになる」と習ったのではないかと思います。

それが「当たり前」と思っている人がほとんどではないかと思います。いえ、「当たり前」ですよね。

でも、これって当たり前じゃないです。

まずは約束が大事

物事を論じるときには、まずは約束が大事です。そもそも－１って何なのか。１って何？０とは何か説明できますか？

0とは

0とは、足し算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

$a+0=a,~ 0+a=a$

が0の約束なんです。

1とは

1とは、かけ算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

$a \times1=a,~ 1 \times a=a$

が1の約束なんです。

マイナスとは

$-a$ とは、 $a$ と足し算をしたら0になるもの、というのが約束です。

$a+(-a)=0,~ (-a)+a=0$

がマイナスの約束です。これを簡略化して

$a-a=0,~ -a+a=0$

という「引き算」になるんです。

分配法則

いわゆる「展開」「因数分解」ですね。

$a(b+c)=ab+ac,~(a+b)c=ac+bc$

は「使ってもよい約束」なんです。

１×０＝０は約束ではない

上の4つだけが約束です。(厳密には、足し算とかけ算の約束をしなければならないんですが、今回は省略します。)

つまり、みんなが当たり前だと思っている「0は何をかけても0」は約束に入っていません。約束ではないんです。

でも、 $0=0+0$ はちゃんと約束から出てきますよね。

つまり、 $1 \times0 = 1 \times(0+0)$ ってことです。

したがって $1 \times0 =1 \times0 + 1 \times0$ です。

でも、まだ $1 \times0$ は0かどうか分からないんですよね。

ややこしいので、 $1 \times0$ を $x$ とおきましょう。中学校で「分からないものはxとおけ！」って習いましたよね。わたしも習いました。

すると $x=x+x$ です。

両辺から $x$ を引きましょう。約束から $x-x=0$ です。

よって $x-x=x+x-x$ なので $0=x$ となります。

つまり $1 \times0=0$ です。

(-1)×(-1) は何故+1なのか

それでは本題です。

$(-1) \times(-1)$ に $(-1)$ を足すことを考えてみましょう。

$-1=(-1) \times1$ ですから

$(-1) \times(-1)+(-1)=(-1) \times(-1)+(-1) \times1$

です。分配法則は使ってもいいので、共通因数の $-1$ でくくりましょう。

$(-1) \times(-1)+(-1) \times1=(-1) \{ (-1)+1 \}$

です。中カッコのなかは $-1+1$ なので0ですから

$(-1)\{ (-1)+1\}=(-1) \times0$

です。先ほど、 $a \times0=0$ は証明しましたから、

$-1 \times0=0$

です。つまり、最初の式から全部つながって

$(-1) \times(-1) -1=0$

です。この両辺に1を足すと

$(-1) \times(-1)=1$

が出てきます。

よくわからん

ここまで読んでくださった方は、内容に興味を持ち、数式を一行ずつ理解しながらお読みいただけたのだと思います。

しかし、世の中の9割以上の方は

マイナスかけるマイナスがプラスになるのは当たり前だろう！
こんな面倒でよく分からん話、ついて行けない！

だと思うんです。それでいいと思います。

ただ、「こんな面倒でよく分からん話」が楽しくて仕方のない人種もいるんです。それが「数学奇人」なんです。

学校の勉強,数学奇人たちの生態

Posted by Hirota