（－１）×（－１） は何故＋１になるのか｜数学奇人たちの生態

2015年10月13日

「あたりまえ」であることに疑問を抱くのは難しいことです。そしてそれを説明するのはもっと難しいことです。

「マイナス」かける「マイナス」は「プラス」？

マイナスの数を学習するのは中学校ですね。みなさん中学校のときに「マイナスとマイナスをかけ算したらプラスになる」と習ったのではないかと思います。

それが「当たり前」と思っている人がほとんどではないかと思います。いえ、「当たり前」ですよね。

でも、これって当たり前じゃないです。

まずは約束が大事

物事を論じるときには、まずは約束が大事です。そもそも－１って何なのか。１って何？０とは何か説明できますか？

0とは

0とは、足し算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

が0の約束なんです。

1とは

1とは、かけ算をしたときに、相手がそのまま答えになるもの、というのが約束です。

つまり、

が1の約束なんです。

マイナスとは

とは、 と足し算をしたら0になるもの、というのが約束です。

がマイナスの約束です。これを簡略化して

という「引き算」になるんです。

分配法則

いわゆる「展開」「因数分解」ですね。

は「使ってもよい約束」なんです。

１×０＝０は約束ではない

上の4つだけが約束です。(厳密には、足し算とかけ算の約束をしなければならないんですが、今回は省略します。)

つまり、みんなが当たり前だと思っている「0は何をかけても0」は約束に入っていません。約束ではないんです。

でも、 はちゃんと約束から出てきますよね。

つまり、 ってことです。

したがって です。

でも、まだ は0かどうか分からないんですよね。

ややこしいので、 を とおきましょう。中学校で「分からないものはxとおけ！」って習いましたよね。わたしも習いました。

すると です。

両辺から を引きましょう。約束から です。

よって  なので となります。

つまり です。

(-1)×(-1) は何故+1なのか

それでは本題です。

に を足すことを考えてみましょう。

ですから

です。分配法則は使ってもいいので、共通因数の でくくりましょう。

です。中カッコのなかは なので0ですから

です。先ほど、 は証明しましたから、

です。つまり、最初の式から全部つながって

です。この両辺に1を足すと

が出てきます。

よくわからん

ここまで読んでくださった方は、内容に興味を持ち、数式を一行ずつ理解しながらお読みいただけたのだと思います。

しかし、世の中の9割以上の方は

マイナスかけるマイナスがプラスになるのは当たり前だろう！
こんな面倒でよく分からん話、ついて行けない！

だと思うんです。それでいいと思います。

ただ、「こんな面倒でよく分からん話」が楽しくて仕方のない人種もいるんです。それが「数学奇人」なんです。