「自然対数の底」にたどりつくためにいろいろと書いてみました

2016年11月25日

今日は「自然対数の底」について書きます。

分数について

まずは分数のお話です。

$\dfrac12$ は、1つのスイカを2人で分けた1人分という意味ですよね。

$\dfrac1{100}$ は、1つのスイカを100人で分けた1人分という意味です。

$\dfrac1{100000000}$ は、1つのスイカを1億人で分けた1人分という意味です。もはや1人分は無いに等しいっす。

無限大について

無限大の話をマジメにやると、めっちゃ難しい話になりますので、めっちゃ噛み砕いた感じで。

おまえの知っている一番大きなモノを想像してみろよ。

想像したよ。で、なに？

オレの愛情は、それよりも大きいんだ。ハニー。

これが無限大の概念です。つまり、何よりも大きいものよりもさらに大きい。

無限大分の１

無限大を $\infty$ と書きます。数字の８を横に倒したようになっているので、なにーズ事務所か知りませんけど「エイト」とか呼んでますが、8ではありません。

$\infty$ は数字ではありませんので、代入とか計算とかはできないんですが、乱暴に言うと $\dfrac1{\infty}$ は0です。

本題に入りましょう

$\left( 1+\dfrac1n \right)^n$ の $n$ を $\infty$ まで大きくすることを考えてみましょう。

$n$ が $\infty$ になるので、 $\dfrac1n$ は0になる。

カッコの中は $1+0$ で1になる。

$(1+0)^n=1^n=1$ ということで、答えは1である。

・・・と、これは間違いなんです。

実験すれば間違いとわかる

$n=10$ のとき、 $\left( 1+\dfrac1{10} \right)^{10} = 1.1^{10}=2.59374246\cdots$

$n=100$ のとき、 $\left( 1+\dfrac1{100} \right)^{100} = 1.01^{100}=2.704813829\cdots$

$n=1000$ のとき、 $\left( 1+\dfrac1{1000} \right)^{1000} = 1.001^{1000}=2.716923932\cdots$

$n=10000$ のとき、 $\left( 1+\dfrac1{10000} \right)^{10000} = 1.0001^{10000}=2.718145927\cdots$

このように、 $n$ を増やしていっても1に近づくことはありません。

自然対数の底

$n$ を無限大に近づけると、 $\left( 1+\dfrac1n \right)^n$ の値は $2.718281828459045\cdots$ という数に近づくことが分かっています。

この数のことを数学では $e$ と名付けています。 $e$ を自然対数の底といいます。

自然対数について詳しく述べることは今回は避けますが、前回話をした対数で底が $e$ であるとき、底を書くのを省略するという慣習があります。

数学にはこんな数があるってことです。この記事は次の記事への布石です。

数学奇人たちの生態

Posted by Hirota