コラッツ問題を知っていますか？｜数学奇人たちの生態

2015年8月8日

数学の世界には、問題の意味は簡単にわかるのだけど、正しいか間違っているかが解決していない「未解決問題」がたくさんあります。

コラッツ問題

その未解決問題の一つに「コラッツ問題」があります。

自然数nに対して
nが偶数の場合、2で割る
nが奇数の場合、3倍して1を足す
という操作を繰り返すと、有限回で必ず1に到達する

というものです。

例えば、13から始めると

$13 \to 40 \to 20 \to 10 \to 5 \to 16 \to 8 \to 4 \to 2 \to 1$

となり、10個のチェーンで1に到達します。これが全ての自然数で必ず1になるという予想なんですが、まだ解決されていないんです。

このような問題は、死ぬまで計算を続けても証明にならないんです。

私がこの問題の解決に一生を捧げ、死ぬまでこの計算をやり続けたとしましょう。

も、もうワシはダメじゃ。n=3億まで全部確認してみたんじゃが、全て1にたどり着いた・・・バタッ

と言って死んでしまったとしましょう。でも、数学奇人は必ずこう言うんです。

「でも、あなたはn=300000001で1にたどり着くかどうかは調べてないんでしょ。」

って。

現在はコンピュータで計算させて、 $n=3\times2^{53}$ までには反例が無いことが分かっているのだそうです。

この問題の亜種として、nが100万未満の数のとき、最も長いチェーンになるnを求めよ、という問題がありました。

求めてみませんか？答えはこの記事のタグに書いておきますね。

Posted by Hirota